Zapatas: Historia de su Evolución.

Indudablemente, las zapatas representan la forma más antigua de cimentación. Hasta mediados del siglo diecinueve, la mayor parte de las zapatas eran de mampostería. Si se construían de piedra cortada y labrada a tamaños especificados, se les llamaba zapatas de piedra labrada. En contraste, las zapatas de mampostería ordinaria se construían con pedazos de piedra de todos los tamaños, unidos con mortero. Las zapatas de mampostería eran adecuadas para casi todas las estructuras, hasta que aparecieron los edificios altos con cargas pesadas en las columnas. Estas cargas requerían zapatas grandes y pesadas que ocupaban un valioso espacio en los sótanos.

En los primeros intentos para ampliar las áreas de las zapatas, sin aumentar el peso, se construían emparrillados de madera, y las zapatas convencionales de mampostería se colocaban sobre ellos. En 1891, se utilizó un emparrillado construido con rieles de acero de ferrocarril, ahogados en concreto como una mejora del emparrillado de madera (John Wellborn Root, Montauk Block, Chicago). El emparrillado de rieles fue un adelanto importante, porque ahorraba mucho peso y aumentaba el espacio en el sótano. En la siguiente década, los rieles de ferrocarril fueron sustituidos por las vigas 1 de acero, que ocupaban un poco más espacio, pero que eran apreciablemente más económicas en acero. En la fig. 10.2, se muestran emparrillados de cimentación típicos de madera, de rieles de ferrocarril, y de vigas de acero en I.

Las vigas de acero en I se adaptaban admirablemente a la construcción de zapatas en cantiliver. Estas se empezaron a usar en 1887, casi simultáneamente en dos edificios en Chicago. En la fig. 10.3 se ilustra una de ellas.

Con el advenimiento del concreto reforzado, poco después de 1900, las zapatas de emparrillado fueron superadas casi por completo por las de concreto reforzado, que son todavía el tipo dominante.

Figura 10.2  Evolución histórica de los emparrillados para cimentación de a) madera b) rieles de ferrocarril, c) vigas I de acero.

Figura 10.3  Zapatas en cantiliver para soportar una columna del Auditorium Building, Chicago 1887.

Dimensionamiento de Vigas en Estado II.

La versión 2005 del reglamento CIRSOC 201, basado en la norma ACI 318, indica tratar como viga de gran altura aquellas con luces libres entre apoyos L <= 4h, siendo h la altura total de la viga. Asimismo los casos de vigas con cargas concentradas ubicadas a distancia menor que 2h de los apoyos.

En todas esas zonas, el comportamiento de la secciones transversales no verifica las hipótesis de Bernoulli. Por otra parte bajo tensiones relativamente bajas se produce fisuración del hormigón que deja de comportarse como medio continuo.

En esos casos se puede utilizar el modelo de reticulado de Morsch, e imaginar la viga trabajando como un reticulado con bielas de compresión, aportadas por el hormigón, y bielas de tracción, conformadas por la armadura.

Para el dimensionamiento de estas vigas la ACI 318 proporciona un procedimiento simplificado:

En lugar de colocar las armaduras mínimas indicadas en ese procedimiento simplificado, se puede calcular la armadura necesaria utilizando un modelo de bielas.

Para ello hay que trazar un conjunto de bielas que, formando un reticulado, transmitan las cargas hasta los apoyos. Este trazado no es único: pueden dibujarse distintos reticulados que sirvan a tal efecto. De ellos la estructura utilizar a aquel que le represente movilizar menor cantidad de energía.

En la figura 10 se muestra un ejemplo sencillo.

Para trazar el reticulado se adopta el ancho de las bielas y en función de esas dimensiones se tendrán las longitudes de bielas y sus ángulos. Resuelto estáticamente el reticulado se obtienen

Figura 10: Modelo de bielas

los esfuerzos en las bielas y se verifican las tensiones en cada una. Si fuese necesario se modifican las dimensiones asumidas para las bielas y se rehace el cálculo.

Debe colocarse la armadura necesaria para cubrir la tracción en las bielas traccionadas. Las tensiones en bielas comprimidas, debe verificarse que sean resistidas por el hormigón.

Para un puntal se verifica:

donde Fu es la carga mayorada en ese puntal calculada al resolver el reticulado; ‑ es el factor de reducción de resistencia; y Fn la resistencia nominal de la biela.

La resistencia se verifica para las bielas comprimidas, para las traccionadas, y para la zona del nudo (zona nodal).

La resistencia de un puntal sin armadura es:

Esta resistencia debe evaluarse en ambos extremos del puntal y tomar la menor de ambas. En la formula Ac es el área de la sección transversal del puntal, en el extremo considerado, y

siendo f’c la resistencia a compresión especificada del hormigón, y  β s un factor que tiene en cuenta la forma del puntal:  β s = 1 para puntales con sección constante;  β s = 0;75 o  β s = 0;60 para puntales con forma de "botella"; etc.

Las zonas nodales deben ser verificadas

donde An es el área de la sección del nodo perpendicular a la recta de acción de Fu; y la resistencia efectiva del hormigón en la zona nodal:

donde  β n = 1 si al nodo solo llegan bielas comprimidas;  β n = 0;8 si llega un tensor; y βn = 0;6 si llegan 2 o mas tensores.

Vigas - Tensiones de Compresión.

Las tensiones de compresión deben ser menores que 

. Esto se da si en el apoyo, la presión de apoyo no supera el valor:

Para el cálculo de la presión p se divide la reacción en el apoyo por el espesor de la viga y un ancho del apoyo en la dirección de la viga que no debe superar el 20% de la luz libre de la viga.

Para el cálculo de la presión p se divide la reacción en el apoyo por el espesor de la viga y un ancho del apoyo en la direccion de la viga que no debe superar el 20% de la luz libre de la viga.

Si hubiese refuerzos de borde (costillas) o si la viga esta indirectamente apoyada a través de placas transversales, debe verificarse que el esfuerzo de corte en el apoyo no supere el valor:

donde b es el espesor de la viga. Si L > h se reemplaza L por h en esta formula.

Método Simplificado para Calcular la Armadura de Tracción.

Un método simplificado para calcular los esfuerzos de tracción proporciona el brazo de palanca z entre las resultantes de compresión y tracción en al sección (Cuaderno 240 de la Comisión Alemana para el Estudio del Hormigón Armado). De esa manera, la fuerza de tracción se evalúa:

Ese brazo de palanca z se puede obtener de fórmulas empíricas.

1. En mensuras, para el momento negativo en empotramiento. 

2. En vigas de un tamo, para el momento positivo en el tramo,

3. En vigas de 2 tramos, o tramos extremos de vigas continuas, tanto para los momentos positivos y negativos,

4. En vigas continuas (tramos internos), tanto para los momentos positivos y negativos,

La armadura de tramo para absorber la fuerza de tracción T en una viga de un tramo, se dispone en una altura de 0,15 - 0,20h (o bien de L, si L < h). En el caso de vigas continuas, la armadura de tramo se dispone en una altura de – 0,10h (o bien de L, si L < h).

La armadura de apoyo se ubica en zonas como se indica en la figura 5.

Figura 5: Distribución de la armadura de tracción sobre los apoyos de vigas continuas

Además se coloca una malla, en ambas caras de la viga, como mínimo en cada dirección:

La separación de las barras de estas mallas debe ser menor que 2 veces el espesor de la viga, o menor que 30cm.

En la figura 6 se muestra la disposición de armadura para una viga de un tramo.

Figura 6: Distribución de la armadura en una viga de gran altura de un tramo

Si la carga esta aplicada en el borde inferior de la viga, es necesario colgarla de la viga (ver figura 4). Para ello se coloca armadura vertical hasta un semicírculo que pase por los apoyos (figuras 7 y 8).

Si hubiese cargas concentradas (por ejemplo apoyo de otra viga transversal) es necesario también prever una armadura que la cuelgue convenientemente (figura 9).

Las barras horizontales de tramos deben ser ancladas sobre los apoyos a través de ganchos. No conviene doblar las barras pues no ayudan a resistir el corte y debilitan la flexión. Sobre la zona de apoyos puede haber zonas críticas. Hay que verificar y a veces reforzar.

 Figura 7: Zona sobre la cual "colgar"la carga inferior

Figura 8: Armadura para "colgar"la carga inferior

Figura 9: Armadura adicional para cargas concentradas

Dimensionamiento de una Viga en Estado I.

La norma Din  1045, en la cual está basada la versión 1982 del reglamento CIRSOC 201, procede a dimensionar una viga de gran altura en estado I, bajo cargas de servicio. Para ello limita las tensiones bajo cargas de servicio a:

• Tensiones de compresión en el hormigón, no mayores que 

• Tensiones principales de tracción, en la armadura, no mayores que 

 FIGURA 3  Tensiones de una Viga  de gran altura.

Figura 4: Tensiones en una viga de gran altura. a) carga superior: b) carga inferior

donde βR es la tensión de cálculo del hormigón y βs el límite de fluencia del acero (DIN 1045).

El análisis bajo cargas de servicio se realiza con la viga como un medio continuo en estado elástico. determinándose las tensiones principales de tracción y de compresión. Allí donde hay tensiones de tracción se colocan armaduras. Se verifica que las tensiones de compresión en el hormigón no excedan los valores máximos indicados. En estas condiciones no es necesario verificar las tensiones tangenciales, puesto que quedan dentro de los valores permitidos. Una excepción a esto último es cuando la viga está ensanchada sobre el apoyo, como se indica más adelante.

Método Simplificado para Calcular la Armadura de Tracción.

Vigas - Tensiones de Compresión.

Esfuerzos Internos y Tensiones en la Viga No Fisurada.

En la figura 2 se muestran los diagramas (le momentos flectores y esfuerzos (le corte (le una viga (le dos tramos. supuesta no fisurada, para una relación de aspecto h/L > 1. 

Figura 2: Diagramas (le momentos flectores y esfuerzos de corte en una viga de dos tramos. calculados como viga esbelta (línea de trazos) y como viga de gran altura (línea llena).

En esa figura se ha indicado la solución como viga esbelta (teoría clásica) y como viga de gran altura. El momento negativo sobre el apoyo es 1/8 qL^2 para la viga esbelta 1/16 qL^2 para la de gran. El corte sobre el apoyo interior es 0.62 qL iara la viga esbelta y 0,56qL para la de gran altura. Mientras que en los apoyos externos es 0,375qL y 0,44qL respectivamente. En cuanto a las reacciones, para la viga esbelta son 1,25qL en el apoyo interno y O,375qL en los apoyos externos. Para la viga de gran altura estos valores son 1,12qL y O,44qL respectivamente. La viga de gran altura posee, además de su deformación por flexión (curvaturas) una deformación por corte (distorsión) que en este caso no es despreciable. Por ello resulta más flexible que la viga esbelta y. consecuentemente en el hiperestático toma menores solicitaciones. El momento negativo (de empotramiento) sobre el apoyo interior es menor, si se la analiza como viga de gran altura, que si se lo hace como viga esbelta. A causa de ello, los momentos de traumo son mayores para la viga de gran altura.

De igual forma, en comparación con la viga esbelta. la viga de grau altura tiene esfuerzos de corte mayores eui los apoyos ternos y menores en los internos. Sus reacciones también son mayores en los apoyos externos y menores en los internos.

Al ser muy rígida la viga de gran altura, por sus dimensiones, pequeños desplazamientos de apoyo producen grandes variaciones en los esfuerzos. También las tensiones son muy sensibles a la forma de carga y al tipo de apoyo. Por ejemplo, no es lo mismo que una carga esté ubicada en la parte superior, que en la parte inferior de la viga.

En la figura 3 se representan las tensiones en una viga con diferentes relaciones de esbeltez. En el cuadro 1 se resumen, de esa figura, los valores máximos de tensiones de tracción y compresión, de la resultante de tracción y del brazo elástico y posición el eje neutro.

Cuadro 1: tensiones en vigas de diferente relación de aspecto (figura  3.

(σ* : máximo relativo para tensión de compresión. no situada en el borde)

En la figura 4 se muestra la distribución de tensiones y trayectoria de tensiones principales para una viga de gran altura con cargas distribuidas situadas en su parte superior y en su parte inferior.

 

Vigas de Gran Altura: Viga como un sólido continuo (no fisurado) , Viga fisurada .

El estudio de vigas de gran altura, ménsulas cortas, etc., así  como porciones de vigas cercanas a la aplicación de cargas concentradas, no puede estudiarse con la teoría elemental de vigas.

Algunos de estos casos podrían ser los indicados en la figura 1 para el caso de cargas gravitacionales uniformemente distribuidas.

Figura 1: Establecen límites para la teoría clásica de vigas.

En la teoría clásica de vigas se hacen las siguientes hipótesis:

• Las secciones transversales planas y perpendiculares al eje medio de la viga, continúan siendo 1anas y perpendiculares a la línea inedia, una vez producida la flexión (Navier— Bernoulli)

• Las secciones σy y τxy son despreciables frente a las tensones σx.

Estas hipótesis no valen para el caso de vigas de gran altura. Las secciones transversales alabean y las tensiones σy y τxy pueden ser del orden de las tensiones σx.

La sola relación de aspecto, como la indicada en la figura 1 no basta para definir el comportamiento como viga de gran altura. Interesa también como están aplicadas las cargas. Por ejemplo, una viga con cargas concentradas situadas a una distancia del apoyo inferior a 2 veces la altura de la viga, también debe estudiarse en esa zona como viga (le gran altura.

Para su análisis puede considerarse dos casos:

1. Viga como un sólido continuo, no fisurado (Estado 1 del hormigón)
En este caso el análisis (le tensiones puede realizarse por alguna de los siguientes formas: 

a) Por la teoría de la elasticidad.
Con las hipótesis de estados planos de tensiones. La función de Airy permite obtener una solución analítica del problema. Pero el rango (le aplicaciones es limitado: solamente se pueden obtener soluciones analíticas para POCOS casos sencillos.

b) Mediante métodos numéricos.
Los métodos numéricos (por ej. método (le los elementos finitos) permiten obtener solución al problema elástico para cualquier caso (le geometrías. vínculos o cargas. Es la herramienta más poderosa (le que se dispone para el análisis de tensiones.

c) Ensayos de modelos.
Hay técnicas experimentales que permiten obtener las direcciones de tensiones principales y sus valores.

2. Viga fisurada (material discontinuo, hormigón en estado II)
El hormigón se fisura a tensiones relativamente bajas y la viga deja de ser un continuo. En estos casos se suele usarse un modelo (le bielas o reticulado (Ritter—Morsch). Se interpreta la resistencia de la viga como el trabajo de un reticulado formado por bielas comprimidas y traccionadas. Las primeras provistas por el hormigón y las segundas por la armadura.

Vigas - Procedimiento de Análisis de Reacciones.

Para determinar las reacciones de una viga mediante un análisis estático en dos dimensiones se debe proceder de la siguiente manera: 

−  Determinar el diagrama de cuerpo libre, en el cual se aísla la viga de sus apoyos, sustituyéndolas por las fuerzas que se generan en los apoyos o reacciones, así como  las fuerzas externas aplicadas en la viga. 

−  Determinar si el cuerpo es estáticamente determinado. Si el número de reacciones es menor de tres (r<3) es inestable; por otra parte si el número es mayos a tres (r>3) la estructura es indeterminada y el análisis estático finaliza. Si la estructura es isostática (r=3) se verifica la estabilidad, de no ser estable, el análisis igualmente finaliza, solo el procedimiento continua si la estructura es isostática y estable.

−  Se determinan las reacciones usando la Ecuación 1, de manera que en cada ecuación exista una sola incógnita o reacción. El signo positivo de la respuesta para la magnitud de la fuerza indica que el sentido supuesto inicialmente en el diagrama de cuerpo libre nera correcto, el signo negativo indica que el sentido correcto de la reacción es contrario al supuesto inicialmente.

−  Se deben determinar las tres reacciones usando tres ecuaciones de equilibrio.

−  Los resultados deben ser verificados con las ecuaciones que no hayan sido utilizadas (Das, Kassimali y Sami, 1999).  

Tipos de Vigas.

Las vigas empleadas en una estructura pueden clasificarse según su número de reacciones en dos grupos: isostática e hiperestáticas, dentro de cada grupo hay una variedad de formas que varían según el tipo y posición de los apoyos. De manera general, encontramos dos tipos de vigas isostáticas, mientras que las hiperestáticas pueden ser de 5 (véase Figura 4). La figura muestra en forma esquemática los diferentes tipos y también la forma que cada viga tiende a adoptar a medida que se deforma bajo la carga (Parker y Ambrose, 1995). 

Figura 4b. Tipos de vigas según los apoyos y la ubicación además las formas típicas que toma al deformarse

                                                           

Viga - Estructura Estáticamente Determinadas o Isostática.

Se considera que una viga es estáticamente determinada o isostática cuando se pueden determinar las reacciones mediante la aplicación de las ecuaciones de equilibrio; esto implica que el número de reacciones en la viga sea igual a tres. Esta condición es necesaria pero no suficiente para que la viga este completamente inmovilizada; por ello antes de resolver una viga isostática se debe analizar la estabilidad.

Cuando el número de reacciones en una viga es menor a tres, se dice que la viga está parcialmente inmovilizada  o inestable, porque las reacciones no son suficientes para impedir todos los posibles movimientos y por lo tanto no estaría en equilibrio.

Por otra parte, al tener mas de tres reacciones la viga es estáticamente indeterminada o hiperestática, para analizar estas vigas se requiere considerar las deformaciones que van a proporcionar las ecuaciones adicionales para que el sistema sea determinado. Las vigas hiperestáticas tienen más reacciones de las necesarias para que el cuerpo esté en equilibrio, por lo cual queda restringida la posibilidad de movimiento (Beer y Johnston, 1979; Das, Kassimali y Sami, 1999).

Tabla 1. Condiciones de la viga 

Apoyos de Vigas y las Reacciones que Corresponden al Tipo de Apoyo.

Los apoyos de vigas, son los elementos que le proporcionan la estabilidad a la viga y por lo general, se encuentran en los extremos o cerca de ellos. Las fuerzas en los apoyos que se generan son productos de las cargas aplicadas y se llaman  reacciones y equilibran las cargas aplicadas. Analíticamente estas reacciones representan las incógnitas de un problema matemático.

Las reacciones se pueden dividir en tres grupos que corresponden al tipo de apoyo que se está empleando (Das, Kassimali y Sami, 1999).

Reacciones formada por una fuerza de dirección conocida

Los   apoyos y conexiones que causan reacciones de este tipo son:  rodillos,  balancines, superficies lisas, bielas y cables cortos. Estos apoyos solo impiden el movimiento en una dirección. Las reacciones de este grupo solo proporcionan una incógnita, que consiste en la magnitud de la reacción y se pueden dirigir en uno u otro sentido a lo largo de la dirección conocida.

Figura 3. Tipos de apoyos

Reacciones formada por una fuerza de dirección desconocida

Los apoyos y conexiones que causan reacciones de este tipo son: articulaciones, bisagras y superficies rugosas. Estos pueden impedir la traslación del cuerpo libre en todas las direcciones pero no impiden la rotación del cuerpo alrededor de la conexión.

En las reacciones de este grupo intervienen dos incógnitas que se representan generalmente por sus componentes x y y. 

Reacciones formada por una fuerza y un par

Estas reacciones son producidas por apoyos fijos o empotramientos que impiden cualquier movimiento inmovilizándolo por completo la viga. En  las reacciones de este grupo intervienen  tres incógnitas, que son generalmente las dos componentes de la fuerza y el momento del par.

Cuando no se ve claramente el sentido de la fuerza o del par de las reacciones, no se debe intentar su determinación. El sentido de la fuerza o del par se puede suponer arbitrariamente y el signo de la respuesta indicará si la suposición fue conecta o no (Beer y Johnston, 1979).

Viga - Estructuras.

Una viga es un miembro estructural donde las cargas aplicadas son principalmente perpendiculares al eje, por lo que el diseño predominante es a flexión y corte (véase Figura 1); si las cargas no son perpendiculares se produce algo de fuerza axial, pero esta no es determinante en el diseño. 

Figura 1. Flexión (a) y corte en vigas (b) y (c) (Nota: Según Ingeniería Simplificada. Para Arquitectos y Constructores. (p. 92) , por Parker, H. y Ambrose, J. 1995. México D.F., México: Editorial LIMUSA, S.A. de C.V.)